Matematiku používáme dnes a denně, ať už jenom třeba chceme zaplatit za rohlík drobnými. Ale víte proč se jedna a jedna rovná dvěma? Můžou za to Peanovy axiomy.
Mějme množinu přirozených čísel N, pro kterou platí následující tvrzení:
- 1 je přirozené číslo, tj. je elementem N.
- Je-li číslo x přirozené, pak je následující číslo, x', také přirozené.
- Uvažujme, že není takové x, pro které by platilo x'=1
- Pro všechny x větší než 1 existuje takové přirozené y, pro které platí, že y'=x.
- Je-li S podmnožina N, 1 a libovolné x' jsou elementy S, pak S=N.
Tak, a teď už si můžeme nadefinovat sčítání přirozených čísel a a b. Je-li b=1, pak a+b=a' (1, 2). Jinak, nechť máme přirozené c, pro které platí, že c'=b (4). Pak rekurzivně definujeme součet a+b=(a+c)'.
Máme součet, už se blížíme ke dvojce. Dvojku si nadefinujeme jako následníka jedničky. Tj. 2=1', a je to také přirozené číslo. Čili, doteď jsme si jenom definovali pojmy toho, co chceme dokázat, že 1+1=2.
Takže když víme, že pro b=1 platí a+b=a', pak je evidentní, že 1+1=2.
A když bychom chtěli dokázat 1+2=3? Trojku si nadefinujeme jako následníka dvojky. Pak platí následující: 1+2=(1+1)'=2'=3.
Pochopitelně můžete nahradit jedničku nulou, když si příslušně upravíte i zbytek.
